ESEMPIO N.1

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ESEMPI DI PROBLEM SOLVING – Complementi agli articoli  “A proposito di Problem Solving”  “Problem Solving ? No Grazie”

Il testo dei problema  ed alcuni spunti risolutivi sono tratti dal libro  da “Mondo reale modelli matematici” di B.Spotorno e V.Villani EdLa Nuova Italia 

 

ESEMPIO1

PROBLEMA

In un contenitore cubico di lato  1m. si vogliono sistemare dei barattoli cilindrici, tipo conserve alimentari, disposte in file parallele (vedi figura)  ed a piani sovrapposti. Per meglio utilizzare lo spazio  converrà  usare barattoli  grandi o piccoli?

 Tema: Calcoli letterali e figure

Motivazioni:

uso dell’algebra e del  disegno come metodi di indagine e di spiegazione

 

Prima fase

a)Ricerca di un disegno  che rappresenti  la situazione con sufficiente chiarezza.

b)Ipotesi e congetture sulla risposta corretta

c)Discussione  collettiva sul metodo di lavoro

d)Definizione delle quantità che  si desidera conoscere ( spazio occupato, spazio vuoto o il loro rapporto)

Seconda fase

L’insegnante può suggerire di procedere nel modo seguente:

a)Gli allievi della classe accettano di essere  numerati  in qualche modo 

b)Il ragazzo cui  sarà assegnato il numero  n , suddividerà gli  spigoli del cubo in n parti uguali in modo da scmporre il cubo in tanti cubetti , in ciascuno dei quali  sarà collocato un barattolo, ed effettuerà  i calcoli richiesti 

c)Si confrontano alla fine tutti i risultati

Terza fase

Discussione sui risultati

Molto probabilmente  gli allievi saranno molto meravigliati nel constatare che i risultati sono tutti uguali.

lo spazio utilizzato, lo spazio vuoto, il loro rapporto  sono indipendenti da n, cioè dal raggio del cilindro.

I ragazzi saranno invitati a darne una giustificazione  che potrà derivare da considerazioni geometriche, da   procedimenti  induttivi  o dall’uso del formalismo algebrico.

Quarta fase

Quando i ragazzi avranno scritto le <<formule>>  mediante il calcolo letterale, l’inero procedimento potrebbe essere trasportato su un foglio di calcolo

 I valori delle grandezze possono essere interpretati anche   come una dipendenza funzionale ,  si può osservare  se sono crescenti, decrescenti o costanti

n r h V_cilindro Spazio occupato Spazio vuoto Rapporto
1 0,500 1,000 0,785 0,785 0,215 3,660
2 0,250 0,500 0,098 0,785 0,215 3,660
3 0,167 0,333 0,029 0,785 0,215 3,660
4 0,125 0,250 0,012 0,785 0,215 3,660
5 0,100 0,200 0,006 0,785 0,215 3,660
6 0,083 0,167 0,004 0,785 0,215 3,660
7 0,071 0,143 0,002 0,785 0,215 3,660
8 0,063 0,125 0,002 0,785 0,215 3,660
9 0,056 0,111 0,001 0,785 0,215 3,660

Quinta fase

Il fatto che il risultato sembra controintuitivo  può essere sfruttato  per ulteriori approfondimenti.

Qualche ragazzo potrà osservare che  man mano che il raggio del barattolo diminuisce, lo spazio dovrebbe essere utilizzato meglio.

A questo  punto si può azzardare un approccio al concetto di limite, mettendo in luce le insidie di un ragionamento non rigoroso E se il raggio  tende a 0? Quanti barattoli verrebbero utilizzati? Ci sarebbero spazi vuotri ?Come si spiega che  nella tabella del foglio elettronico i valori delle ultime 3 colonne non variano anche se il raggio diventa molto piccolo?

Il testo suggerisce un confronto col noto paradosso  delle semicirconferenze

La lunghezza della semicirconferenza di diametro AB è uguale alla somma  delle lunghezze delle due semicirconferenze di diametro AC e CB, quindi anche alla somma delle  semicirconferenze di diametro  AD,DC,Cf;FB  etc..etc..

Se il numero delle semicirconferenze tende ad infinito, possiamo affermare che  le semicirconferenze continue si confonderanno col diametro?

Ma allora la  lunghezza della semicirconferenza  è uguale a quella del suo diametro?!

Assolutamente NO. Basta  effettuare correttamente l’operazione di passaggio al limite

continuaCONTINUA  Esempio2

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