Il metodo dei “gusci cilindrici” e gli “indivisibili” curvi di Torricelli

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Consideriamo una regione piana   Q ,  pari ad un quarto di cerchio con centro nell’origine degli assi e raggio R, appartenente al primo quadrante. Il solido ottenuto dalla rotazione  di Q , sia intorno all’asse x , sia intorno all’asse y , è una semisfera di volume

Per determinarne il volume, con il calcolo integrale, supponiamo di suddividere l’intervallo  di base, appartenente all’asse x,in n  segmentini di lunghezza dx  e costruiamo gli n  rettagolini di base dx  e altezza f(x), come in figura . Nella rotazione attorno all’asse x essi generano  altrettanti  cilindretti di  raggio f(x) e  altezza dx.

Il calcolo, come si può verificare, è stato effettuto  applicando  il solito metodo utilizzato  per determinare il volume di un solido di rotazione.

Se  ora pensiamo di far ruotare Q intorno all’asse y, mantenendo la stessa  suddivisione,  vedremo che la semisfera è approssimata dalla somma di n gusci cilindrici di spessore dx e raggio interno x.

L’elemento infinitesimo di volume sarà  uguale al prodotto della circonferenza  di raggio x per l’area del rettangolino f(x)*dx (  secondo teorema di Guldino)ovvero  può essere calcolato direttamente  come differenza di due cilindri di raggio x e x+ dx ( nel calcolo deve essere però trascurato il termine dx^2 in quanto infinitesimo di ordine superiore)

Come si può verificare,  questo  secondo metodo fornisce un risultato uguale al primo

Il metodo dei “gusci cilindrici” può essere generalizzato per determinare il volume di un solido ottenuto dalla rotazione intorno all’asse y di  un trapezoide   relativo  ad una funzione y=f(x), di base (0;a). (Confronta  quesito-10_PNI2010   )

La formula generale sarà

Se si interpreta l’elemento infinitesimo  come prodotto  dell’area laterale del generico cilindretto per l’incremento dx,  viene spontaneo l’accostamento  con gli “ indivisibili”di Bonaventura Cavalieri, ma si tratta in questo caso di indivisibili curvi.

Le superfici laterali dei cilindri concentrici  devono essere considerate alla stessa stregua delle “fette”  nell’integrazione per sezioni piane

Cavalieri  ricorre  raramente  a indivisibili curvi,onde evitare di considerare tra loro  equivalenti  figure curvilnee e figure rettilinee, mentre Evangelista Torricelli ne fa un uso disimvolto e il suo coraggio viene premiato da una scoperta sensazionale: il volume di un  solido illimitato ,di superficie infinita, può avere un valore finito.

Trovò infatti che il solido generato dalla rotazione di un ramo di iperbole equilatera intorno ad un asintoto,  è equivalente ad un cilindro  di raggio pari all’asse  trasverso dell’iperbole e altezza  pari alla distanza dell’estremo del ramo di iperbole dall’asintoto stesso .(consultare il sito dell’Istituto e Museo di Storia della Scienza-Firenze) http://www.imss.fi.it/multi/torricel/itorat31.html

Noi possiamo ritrovare velocemente il risultato  con il calcolo integrale, con il metodo dei gusci cilindrici.

Sia  xy=a^2/2   con 0<x<=h,  l’equazione del ramo di iperbole di  asse a e sia l’asse y  l’asse di rotazione.

Essendo aperto a sinistra l’intervallo di integrazione, si deve  calcolare un integrale improprio

inizialmente prendiamo l’intervallo chiuso e limitato (k,h) come intervallo di integrazione, poi passiamo al limite , per k tendente a 0.

è ilvolume de “solido iperbolico acutissimo”

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