Il metodo delle fette e gli”indivisibili” di Bonaventura Cavalieri

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Il metodo delle “fette” si riallaccia al metodo degli “indivisibili” di Bonaventura Cavalieri (1598-1647), tappa fondamentale nel pensiero matematico per un nuovo approccio alla problematica dell’infinito e per i futuri sviluppi dell’analisi infinitesimale.

Il ricorso alla scomposizione di una grandezza  in infinite parti  infinitamente piccole è un metodo intuitivo che nasce quasi spontaneamente quando , per esempio , non è possibile mettere in evidenza l’equivalenza di due figure piane o solide mediante l’equiscomposizione in un numero finito di parti.

Anche i matematici e i filosofi dell’antichità , tra cui lo stesso Archimede,  arrivarono ad interessanti risultati facendo  uso di metodi  considerati  spregiudicati , salvo poi  darne una dimostrazione rigorosa per  per altra via.

A tal scopo Eudosso di Cnido aveva introdotto il metodo di esaustione  che però, se da una parte  salvava il rigore e la coerenza delle teorie e dei metodi utilizzati, dall’altro ne appesantiva l’esposizione e l’utilizzo. Da una parte evitava il ricorso all’infinito attuale, dall’altro non risolveva comunque le difficoltà che nascono inevitabilmente quando si affrontano problemi che  incontrano  lo scoglio dell’infinito.

La riscoperta dei classici del movimento umanistico -rinascimentale  indirizzò gli studi matematici verso un approfondimento della matematica greca, i cui metodi vennero  assimilati, ma anche  riletti e discussi per essere adattati alle nuove esigenze.

Per il calcolo delle aree e dei volumi si va alla ricerca di un metodo  efficiente e rigoroso,  più agile e spedito del classico metodo di esaustione. Si riprende il dibattito, tra aristotelici e  e antiaristotelici , sulla compositio continui  e sulla problematica dell’infinito.   Alla concezione aristotelica, di un infinito solo potenziale, si opponevano alcuni pensatori, tra cui Cavalieri ma anche Keplero e Galileo, che accettavano  l’infinito attuale . Una grandezza continua, un segmento, una superficie, un volume , non solo può essere divisa  in infinite parti sempre più piccole, ma può essere considerata come l’ insieme infinito delle sue parti .

Cavalieri  per evitare le trappole dei paradossi, con il  concetto di “indivisibile”, non parla di  figura <<somma delle sue parti>>  ma associa ad ogni figura geometrica , continua e finita,  l’insieme di tutti i suoi “indivisibili” ovvero ad una regione piana associa  l’insieme delle corde  parallele ad una determinata direzione e a un solido le sezioni ottenute con un fascio di piani paralleli ad una determinata giacitura.

Il confronto tra due solidi o due  figure piane e il rapporto tra i loro volumi  o le loro aree , venivano  ricondotti  al confronto dei rispettivi indivisibili.

Le obiezioni a questa concezione ruotavano comunque sempre attorno al nodo centrale, come fa notare il matematico svizzero Guldino, uno dei più accaniti << puristi>>:  <<…mai infatti possono essere chiamate superficie più linee, oppure tutte le linee; giacché la moltitudine di tutte le linee, per quanto grandissima essa sia non può comporre neppure la più piccola superficie>>; del resto se gli indivisibili avessero una  misura non nulla, se invece di corde considerassimo rettangolini  e al posto di  sezioni piane   piccoli solidi, la  somma di infiniti termini  non potrebbe assumere un valore finito. Ai metodi poco ortodossi  dei matematici  che a torto chiamava  “non archimedei” Guldino  opponeva i suoi teoremi   che permettono di calcolare  aree o volumi di solidi di rotazione mediante il concetto classico di baricentro senza far ricorso ad entità non  chiaramente definite.  I matematici degli indivisibili non erano però antiarchimedei, in quanto adottavano un metodo familiare allo stesso Archimede, come fu scoperto  tre secoli più tardi, quando , nel 1906,fu ritrovata a Costantinopli una lettera di  Archimede ad Eratostene, dove appare chiaro che il grande  Siracusano  utilizzasse inizialmente  metodi intuitivi, anzi meccanici , per le sue scoperte, e solo dopo ne fornisse una dimostrazione rigorosa.

Nonostante il tentativo di respingere le  varie obiezioni di Guldino  ,nelle  “Exercitationes Geometricae sex ” il cui  frontespizio  è rappresentato in figura  ,Cavalieri  non riuscì a dare una base rigorosa alla sua teoria, ma  il metodo degli indivisibili si  rivelò fecondo nelle applicazioni per il calcolo di aree e volumi, con il contributo di altri matematici quali Luca Valerio ed Evangelista Torricelli.

La sua intuizione in Geometria elementare è stata assunta come postulato, il “principio di Cavalieri”:

Se due solidi hanno uguale altezza e se le sezioni tagliate da piani paralleli alle basi e ugualmente distanti da queste stanno sempre in un dato rapporto, anche i volumi dei solidi staranno in questo rapporto.

Nota a tutti è l’applicazione del principio di Cavalieri al calcolo del volume della sfera (il metodo detto  della <<scodella>> , in quanto  utilizza il solido  a forma di scodella, differenza tra un cilindro e la semistera inscritta)

La dimostrazione è dovuta a Luca Valerio (1552-1618) ed è riportata da Galileo    nei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze,

Con l’introduzione del calcolo infinitesimale, ad opera di Leibniz e Newton e con  la sua definitiva sistemazione rigorosa da parte dei matematici ottocenteschi, tutti questi risultati  trovarono la  loro  forma canonica, nei concetti di infinitesimo,di limite e di integrale.

Il metodo delle” fette ” parte da considerazioni intuitive, come il metodo degli indivisibili, ma si avvale di  concetti, simboli e operazioni  che hanno un preciso significato matematico.

Il volume di un solido può essere calcolato, nel modo più generale , come limite di una somma di elementi aventi estensione non nulla, bensì infinitesima. Il dx ,introdotto da Leibniz nel simbolo di integrale , riporta gli “indivisibili” alla stessa dimensione  della figura , ma sicuramente è  <<figlio>> del metodo di Cavalieri, del quale Leibniz  accetta  in un certo senso l’estensione  delle proprietà delle grandezze finite a quelle infinitesime.

Il punto di vista   <<cinematico>> con cui Cavalieri introduce i suoi  indivisibili,  ottenuti come sezioni di una retta  o un piano che trasla secondo una determinata direzione, suggerisce a Newton il metodo delle “flussioni”, ovvero il concetto di derivata.

In particolare, poi,  il “principio” di Cavalieri diventa palesemente una conseguenza delle proprietà dell’Integrale definito: Se S1(x) e S2(x) sono le aree delle sezioni e se S1(x) =k S2(x), possiamo affermare che

e che pertanto anche i due volumi  hanno rapporto k

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