IL PROBLEMA ISOPERIMETRICO da Didone a Emma Castelnuovo

La fondazione di Cartagine.


mercatique solum, facti de nomine Byrsam, taurino quantum possent circumdare tergo.

(…comprarono tanta terra quanto una pelle di toro potesse circondarne,   per questo la città ha pure il nome di Birsa.)(Eneide, L. I,

La leggenda    narra che , nel secolo XIX a.Cla regina Didone, in fuga da Tiro, approdò sulle sponde dell’attuale Tunisia dove chiese
al re Jarba che le fosse concesso un pezzo di terra per fondarvi il proprio regno. Il Re rispose che le avrebbe dato tutta la terra che lei fosse riuscita
a circondare con una pelle di bue.

Astutamente Didone fece tagliare la pelle a  strisce sottilissime con le quali formò un filo molto lungo , si pose su un tratto di litorale e delimitò un’area a semicerchio, avente come
perimetro il nastro che aveva a disposizione. Ottenne così una superficie di  terreno con la massima area sufficiente a fondare la nuova città che fu  chiamata Cartagine.

Didone si trovò dunque ad affrontare il seguente problema di ottimizzazione:

data una retta r e una lunghezza L>0, tra tutte le curve piane di
lunghezza L
(lalunghezza del filo)che hanno entrambi gli  estremi su r (il litorale), trovare quella che racchiude la massima area(l’appezzamento di terreno).

Questo problema classico è collegato  al più generale  problema isoperimetrico:

determinare la figura piana di area massima avendo a  disposizione un perimetro fissato .

Si dimostra infatti che, se F è la figura che risolve  il problema  isoperimetrico  ed r una retta che ne   divide il contorno in due parti di uguale lunghezza, ciascuna di queste due
regioni risolve il problema di Didone.

Le soluzioni consistono infatti,  rispettivamente, in una circonferenza  e   in una semicirconferenza

Il problema dello spago

Nella Lectio Magistralis di apertura   del Festival della Matematica del 2007,  Emma Castelnuovo  descrive il suo modo di avvicinare i ragazzi
alla Matematica, partendo dall’osservazione del reale: << E allora, sempre materiale da niente, a un certo punto presento uno
spago. Uno spago messo a forma di rettangolo. Benissimo.  A nessuno gliene importa niente, ma, appena
faccio così si muove. Dico: «Che cosa succede del perimetro e dell’area?» Beh,
il perimetro, è evidente, lo spago è sempre lo stesso, rimane uguale. E l’area?
In tutti i paesi del mondo, dove ho lavorato, si risponde così: «L’area, nel
passaggio da qua a qua, non può cambiare: perché come potrebbe l’area uscire da
un contorno?».

Il tutto ci fa pensare. La  stessa cosa la dice Galileo: Galileo dice che molte persone pensano che se due
piazze hanno lo stesso contorno per forza devono contenere la stessa area.
Idem.

Passano i secoli rimane  uguale. Fino al caso limite che produce uno shock. Ma lo shock c’è stato
subito. Qualcuno cui piace di più, come dire, avere i piedi sulla terra, dice:
«È chiaro che non può cambiare l’area, perché l’area si trova base per altezza.
Quando io, da questo, faccio così, l’altezza diminuisce la base aumenta, dunque
si compensano, punto». L’interesse è tale che queste discussioni sono
affascinanti.

Ed è necessario un paziente ascolto  dei giovani perché si consolidi l’idea che l’area cambia e da loro venga la
ricerca del rettangolo di area massima (il quadrato).

Anche qui, dunque, un problema isoperimetrico.

E’ evidente che  la ricerca delle  soluzioni  di problemi isoperimetrici  nasce da esigenze di natura pratica ma ben presto si pone all’attenzione dei
matematici e si intreccia con lo studio delle proprietà delle figure    geometriche.

In particolare  era noto sin  dall’antichità che nelle figure regolari  è più conveniente  il  rapporto  area-perimetro, come aveva  intuito Didone, o i suoi  <<architetti>>,
dovettero passare moltissimi  secoli prima di arrivare ad una dimostrazione rigorosa e  completa (Ennio De Giorgi)

Nel corso dei secoli si sono   affacciate varie soluzioni particolari, con metodi  sintetici nell’antichità ( Apollonio,Zenodoro, Pappo) e con i metodi  dell’Analisi in tempi più recenti.

Notevole il contributo di  Steiner  (XIX secolo) che , continuando  la  tradizione dei matematici greci e  utilizzando metodi geometrici, riuscì a dimostrare che

Se il problema isoperimetrico  ammette soluzione, questa è unica e corrisponde alla circonferenza.

Analizziamo ora alcuni teoremi che    si possono studiare a livello elementare con un approccio di tipo algebrico o  sintetico o anche analitico-funzionale. 

CONTINUA

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