PROBLEMI ISOPERIMETRICI

Alcuni semplici problemi isoperimetrici

  1. Fra tutti i triangoli di dato perimetro quello equilatero ha l’area massima.
  2.  Fra tutti i triangoli di fissata area quello equilatero ha perimetro minimo
  3. Fra tutti i rettangoli di dato perimetro il quadrato ha l’area massima
  4.  Tra tutti irettangoli di data area il quadrato ha il perimetro minimo
  5.  Fra tutti i quadrilateri di dato perimetro il quadrato ha l’area massima
  6.  Fra tutti i poligoni di n lati, di dato perimetro, quello regolare ha area massima.

L’area di un poligono regolare cresce al crescere del numero dei lati

 

OSSERVAZIONE

Le proposizioni 1 e2 e anche 3 e 4, sono ottenute l’una dall’altra scambiando le paroleperimetro e area e i termini massimo e minimo (per questo vengono chiamate duali).

Se è vera una proposizione è vera anche la duale.

Infatti, per esempio, supponiamo vera la 1 e dimostriamo, come conseguenza, che è vera la  2.

Essendo la   1  vera, fra i triangoli di perimetro P, quello equilatero, Te, ha   area massima , il cui valore sia Smax.

Se per   assurdo la 2  fosse falsa, fra i triangoli di area Smax ce ne sarebbe uno, non equilatero, di perimetro minimo, Pmin<P..

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